筛法

素数筛法

如果我们想要知道小于等于 n 有多少个素数呢?

一个自然的想法是对于小于等于 n 的每个数进行一次质数检验。这种暴力的做法显然不能达到最优复杂度。

埃拉托斯特尼筛法

考虑这样一件事情:如果 x 是合数,那么 x 的倍数也一定是合数。利用这个结论,我们可以避免很多次不必要的检测。

如果我们从小到大考虑每个数,然后同时把当前这个数的所有(比自己大的)倍数记为合数,那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

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int Eratosthenes(int n) {
  int p = 0;
  for (int i = 0; i <= n; ++i) is_prime[i] = 1;
  is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[p++] = i;  // prime[p]是i,后置自增运算代表当前素数数量
      if ((long long)i * i <= n)
        for (int j = i * i; j <= n; j += i)
          // 因为从 2 到 i - 1 的倍数我们之前筛过了,这里直接从 i
          // 的倍数开始,提高了运行速度
          is_prime[j] = 0;  // 是i的倍数的均不是素数
    }
  }
  return p;
}

以上为 Eratosthenes 筛法 (埃拉托斯特尼筛法,简称埃氏筛法),时间复杂度是 O(n\log\log n)

怎么证明这个复杂度呢?我们先列出复杂度的数学表达式。

发现数学表达式显然就是素数的倒数和乘上 n ,即 n\sum_p {\frac{1}{p}}

我们相当于要证明 \sum_p {\frac{1}{p}} O(\log\log n) 的。我们考虑一个很巧妙的构造来证明这个式子是 O(\log\log n) 的:

证明:

注意到调和级数 \sum_n {\frac{1}{n}}=\ln n

而又由唯一分解定理可得: \sum_n {\frac{1}{n}}=\prod_p {(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots)}=\prod_p {\frac{p}{p-1}}

我们两边同时取 \ln ,得:

\begin{aligned} \ln \sum_n {\frac{1}{n}}&=\ln \prod_p {\frac{p}{p-1}}\\ \ln\ln n&=\sum_p {(\ln p-\ln {(p-1)})} \end{aligned}

又发现 \int {\frac{1}{x}dx}=\ln x ,所以由微积分基本定理:

\sum_p {(\ln p-\ln {(p-1)})}=\sum_p {\int_{p-1}^p {\frac{1}{x}dx}}

画图可以发现, \int_{p-1}^p {\frac{1}{x}dx}>\frac{1}{p} ,所以:

\ln\ln n=\sum_p {\int_{p-1}^p {\frac{1}{x}dx}}>\sum_p {\frac{1}{p}}

所以 \sum_p {\frac{1}{p}} O(\log\log n) 的,所以 Eratosthenes 筛法 的复杂度是 O(n\log\log n) 的。

当然,上面的做法效率仍然不够高效,应用下面几种方法可以稍微提高算法的执行效率。

筛至平方根

显然,要找到直到 n 为止的所有素数,仅对不超过 \sqrt n 的素数进行筛选就足够了。

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int n;
vector<char> is_prime(n + 1, true);
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
  if (is_prime[i]) {
    for (int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
  }
}

这种优化不会影响渐进时间复杂度,实际上重复以上证明,我们将得到 n \ln \ln \sqrt n + o(n) ,根据对数的性质,它们的渐进相同,但操作次数会明显减少。

只筛奇数

因为除 2 以外的偶数都是合数,所以我们可以直接跳过它们,只用关心奇数就好。

首先,这样做能让我们内存需求减半;其次,所需的操作大约也减半。

减少内存的占用

我们注意到筛法只需要 n 比特的内存。因此我们可以通过将变量声明为布尔类型,只申请 n 比特而不是 n 字节的内存,来显著的减少内存占用。即仅占用 \dfrac n 8 字节的内存。

但是,这种称为 位级压缩 的方法会使这些位的操作复杂化。任何位上的读写操作都需要多次算术运算,最终会使算法变慢。

因此,这种方法只有在 n 特别大,以至于我们不能再分配内存时才合理。在这种情况下,我们将牺牲效率,通过显著降低算法速度以节省内存(减小 8 倍)。

值得一提的是,存在自动执行位级压缩的数据结构,如 C++ 中的 vector<bool>bitset<>

分块筛选

由优化“筛至平方根”可知,不需要一直保留整个 is_prime[1...n] 数组。为了进行筛选,只保留到 \sqrt n 的素数就足够了,即 prime[1...sqrt(n)] 。并将整个范围分成块,每个块分别进行筛选。这样,我们就不必同时在内存中保留多个块,而且 CPU 可以更好地处理缓存。

s 是一个常数,它决定了块的大小,那么我们就有了 \lceil {\frac n s} \rceil 个块,而块 k ( k = 0 ... \lfloor {\frac n s} \rfloor ) 包含了区间 [ks; ks + s - 1] 中的数字。我们可以依次处理块,也就是说,对于每个块 k ,我们将遍历所有质数(从 1 \sqrt n )并使用它们进行筛选。

值得注意的是,我们在处理第一个数字时需要稍微修改一下策略:首先,应保留 [1; \sqrt n] 中的所有的质数;第二,数字 0 1 应该标记为非素数。在处理最后一个块时,不应该忘记最后一个数字 n 并不一定位于块的末尾。

以下实现使用块筛选来计算小于等于 n 的质数数量。

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int count_primes(int n) {
  const int S = 10000;
  vector<int> primes;
  int nsqrt = sqrt(n);
  vector<char> is_prime(nsqrt + 1, true);
  for (int i = 2; i <= nsqrt; i++) {
    if (is_prime[i]) {
      primes.push_back(i);
      for (int j = i * i; j <= nsqrt; j += i) is_prime[j] = false;
    }
  }
  int result = 0;
  vector<char> block(S);
  for (int k = 0; k * S <= n; k++) {
    fill(block.begin(), block.end(), true);
    int start = k * S;
    for (int p : primes) {
      int start_idx = (start + p - 1) / p;
      int j = max(start_idx, p) * p - start;
      for (; j < S; j += p) block[j] = false;
    }
    if (k == 0) block[0] = block[1] = false;
    for (int i = 0; i < S && start + i <= n; i++) {
      if (block[i]) result++;
    }
  }
  return result;
}

分块筛分的渐进时间复杂度与埃氏筛法是一样的(除非块非常小),但是所需的内存将缩小为 O(\sqrt{n} + S) ,并且有更好的缓存结果。 另一方面,对于每一对块和区间 [1, \sqrt{n}] 中的素数都要进行除法,而对于较小的块来说,这种情况要糟糕得多。 因此,在选择常数 S 时要保持平衡。

块大小 S 10^4 10^5 之间,可以获得最佳的速度。

线性筛法

埃氏筛法仍有优化空间,它会将一个合数重复多次标记。有没有什么办法省掉无意义的步骤呢?答案是肯定的。

如果能让每个合数都只被标记一次,那么时间复杂度就可以降到 O(n) 了。

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void init() {
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
    if (!vis[i]) {
      phi[i] = i - 1;
      pri[cnt++] = i;
    }
    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
      if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break;
      vis[i * pri[j]] = 1;
      if (i % pri[j]) {
        phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
      } else {
        // i % pri[j] == 0
        // 换言之,i 之前被 pri[j] 筛过了
        // 由于 pri 里面质数是从小到大的,所以 i 乘上其他的质数的结果一定也是
        // pri[j] 的倍数 它们都被筛过了,就不需要再筛了,所以这里直接 break
        // 掉就好了
        phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
        break;
      }
    }
  }
}

上面代码中的 phi 数组,会在下面提到。

上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法 (欧拉筛法)。

Note

注意到筛法求素数的同时也得到了每个数的最小质因子

筛法求欧拉函数

注意到在线性筛中,每一个合数都是被最小的质因子筛掉。比如设 p_1 n 的最小质因子, n' = \frac{n}{p_1} ,那么线性筛的过程中 n 通过 n' \times p_1 筛掉。

观察线性筛的过程,我们还需要处理两个部分,下面对 n' \bmod p_1 分情况讨论。

如果 n' \bmod p_1 = 0 ,那么 n' 包含了 n 的所有质因子。

\begin{aligned} \varphi(n) & = n \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\ & = p_1 \times n' \times \prod_{i = 1}^s{\frac{p_i - 1}{p_i}} \\\\ & = p_1 \times \varphi(n') \end{aligned}

那如果 n' \bmod p_1 \neq 0 呢,这时 n' p_1 是互质的,根据欧拉函数性质,我们有:

\begin{aligned} \varphi(n) & = \varphi(p_1) \times \varphi(n') \\\\ & = (p_1 - 1) \times \varphi(n') \end{aligned}
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void phi_table(int n, int* phi) {
  for (int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    if (!phi[i])
      for (int j = i; j <= n; j += i) {
        if (!phi[j]) phi[j] = j;
        phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
      }
}

筛法求莫比乌斯函数

线性筛

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void pre() {
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 1e7; ++i) {
    if (!v[i]) mu[i] = -1, p[++tot] = i;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= 1e7 / p[j]; ++j) {
      v[i * p[j]] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0;
        break;
      }
      mu[i * p[j]] = -mu[i];
    }
  }

筛法求约数个数

d_i 表示 i 的约数个数, num_i 表示 i 的最小质因子出现次数。

约数个数定理

定理:若 n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i} d_i=\prod_{i=1}^mc_i+1 .

证明:我们知道 p_i^{c_i} 的约数有 p_i^0,p_i^1,\dots ,p_i^{c_i} c_i+1 个,根据乘法原理, n 的约数个数就是 \prod_{i=1}^mc_i+1 .

实现

因为 d_i 是积性函数,所以可以使用线性筛。

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void pre() {
  d[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, d[i] = 2, num[i] = 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        num[i * p[j]] = num[i] + 1;
        d[i * p[j]] = d[i] / num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1);
        break;
      } else {
        num[i * p[j]] = 1;
        d[i * p[j]] = d[i] * 2;
      }
    }
  }
}

筛法求约数和

f_i 表示 i 的约数和, g_i 表示 i 的最小质因子的 p+p^1+p^2+\dots p^k .

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void pre() {
  g[1] = f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1;
        f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]];
        break;
      } else {
        f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];
        g[i * p[j]] = 1 + p[j];
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (f[i - 1] + f[i]) % Mod;
}

其他线性函数

本节部分内容译自博文 Решето Эратосфена 与其英文翻译版 Sieve of Eratosthenes 。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。


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