图的存储

在 OI 中,想要对图进行操作,就需要先学习图的存储方式。

约定

本文默认读者已阅读并了解了 图论相关概念 中的基础内容,如果在阅读中遇到困难,也可以在 图论相关概念 中进行查阅。

在本文中,用 n 代指图的点数,用 m 代指图的边数,用 d^+(u) 代指点 u 的出度,即以 u 为出发点的边数。

直接存边

方法

使用一个数组来存边,数组中的每个元素都包含一条边的起点与终点(带边权的图还包含边权)。(或者使用多个数组分别存起点,终点和边权。)

参考代码
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

struct Edge {
  int u, v;
};

int n, m;
vector<Edge> e;
vector<bool> vis;

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    if (e[i].u == u && e[i].v == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    if (e[i].u == u) {
      dfs(e[i].v);
    }
  }
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  e.resize(m + 1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> e[i].u >> e[i].v;

  return 0;
}

复杂度

查询是否存在某条边: O(m)

遍历一个点的所有出边: O(m)

遍历整张图: O(nm)

空间复杂度: O(m)

应用

由于直接存边的遍历效率低下,一般不用于遍历图。

Kruskal 算法 中,由于需要将边按边权排序,需要直接存边。

在有的题目中,需要多次建图(如建一遍原图,建一遍反图),此时既可以使用多个其它数据结构来同时存储多张图,也可以将边直接存下来,需要重新建图时利用直接存下的边来建图。

邻接矩阵

方法

使用一个二维数组 adj 来存边,其中 adj[u][v] 为 1 表示存在 u v 的边,为 0 表示不存在。如果是带边权的图,可以在 adj[u][v] 中存储 u v 的边的边权。

参考代码
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<vector<bool> > adj;

bool find_edge(int u, int v) { return adj[u][v]; }

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int v = 1; v <= n; ++v) {
    if (adj[u][v]) {
      dfs(v);
    }
  }
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  adj.resize(n + 1, vector<bool>(n + 1, false));

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    adj[u][v] = true;
  }

  return 0;
}

复杂度

查询是否存在某条边: O(1)

遍历一个点的所有出边: O(n)

遍历整张图: O(n^2)

空间复杂度: O(n^2)

应用

邻接矩阵只适用于没有重边(或重边可以忽略)的情况。

其最显著的优点是可以 O(1) 查询一条边是否存在。

由于邻接矩阵在稀疏图上效率很低(尤其是在点数较多的图上,空间无法承受),所以一般只会在稠密图上使用邻接矩阵。

邻接表

方法

使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组,如 vector<int> adj[n + 1] 来存边,其中 adj[u] 存储的是点 u 的所有出边的相关信息(终点、边权等)。

参考代码
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<vector<int> > adj;

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) {
    if (adj[u][i] == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) dfs(adj[u][i]);
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  adj.resize(n + 1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    adj[u].push_back(v);
  }

  return 0;
}

复杂度

查询是否存在 u v 的边: O(d^+(u)) (如果事先进行了排序就可以使用 二分查找 做到 O(\log(d^+(u))) )。

遍历点 u 的所有出边: O(d^+(u))

遍历整张图: O(n+m)

空间复杂度: O(m)

应用

存各种图都很适合,除非有特殊需求(如需要快速查询一条边是否存在,且点数较少,可以使用邻接矩阵)。

尤其适用于需要对一个点的所有出边进行排序的场合。

链式前向星

方法

本质上是用链表实现的邻接表,核心代码如下:

// head[u] 和 cnt 的初始值都为 -1
void add(int u, int v) {
  nxt[++cnt] = head[u];  // 当前边的后继
  head[u] = cnt;         // 起点 u 的第一条边
  to[cnt] = v;           // 当前边的终点
}

// 遍历 u 的出边
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
  int v = to[i];
}
参考代码
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<int> head, nxt, to;

void add(int u, int v) {
  nxt.push_back(head[u]);
  head[u] = to.size();
  to.push_back(v);
}

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
    if (to[i] == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) dfs(to[i]);
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  head.resize(n + 1, -1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    add(u, v);
  }

  return 0;
}

复杂度

查询是否存在 u v 的边: O(d^+(u))

遍历点 u 的所有出边: O(d^+(u))

遍历整张图: O(n+m)

空间复杂度: O(m)

应用

存各种图都很适合,但不能快速查询一条边是否存在,也不能方便地对一个点的出边进行排序。

优点是边是带编号的,有时会非常有用,而且如果 cnt 的初始值为奇数,存双向边时 i ^ 1 即是 i 的反边(常用于 网络流 )。


评论