圆方树

简介

在阅读下列内容之前,请务必了解 图论相关概念 部分。

相关阅读:割点和桥

众所周知,树(或森林)有很好的性质,并且容易通过很多常见数据结构维护。

而一般图则没有那么好的性质,所幸有时我们可以把一般图上的某些问题转化到树上考虑。

而圆方树(Block forest 或 Round-square tree)1就是一种将图变成树的方法。本文将介绍圆方树的构建,性质和一些应用。

限于篇幅,本文中有一些结论未经证明,读者可以自行理解或证明。

定义

圆方树最初是处理“仙人掌图”(每条边在不超过一个简单环中的无向图)的一种工具,不过发掘它的更多性质,有时我们可以在一般无向图上使用它。

要介绍圆方树,首先要介绍 点双连通分量

一个 点双连通图 的一个定义是:图中任意两不同点之间都有至少两条点不重复的路径。
点不重复既指路径上点不重复(简单路径),也指两条路径的交集为空(当然,路径必然都经过出发点和到达点,这不在考虑范围内)。

可以发现对于只有一个点的图比较难定义它是不是一个点双,这里先不考虑节点数为 1 的图。

一个近乎等价的定义是:不存在割点的图。
这个定义只在图中只有两个点,一条连接它们的边时失效。它没有割点,但是并不能找到两条不相交的路径,因为只有一条路径。
(也可以理解为那一条路径可以算两次,的确没有交,因为不经过其他点)

虽然原始的定义的确是前者,但是为了方便,我们规定点双图的定义采用后者。

而一个图的 点双连通分量 则是一个 极大点双连通子图
与强连通分量等不同,一个点可能属于多个点双,但是一条边属于恰好一个点双(如果定义采用前者则有可能不属于任何点双)。

在圆方树中,原来的每个点对应一个 圆点,每一个点双对应一个 方点
所以共有 n+c 个点,其中 n 是原图点数, c 是原图点双连通分量的个数。

而对于每一个点双连通分量,它对应的方点向这个点双连通分量中的每个点连边。
每个点双形成一个“菊花图”,多个“菊花图”通过原图中的割点连接在一起(因为点双的分隔点是割点)。

显然,圆方树中每条边连接一个圆点和一个方点。

下面的图显示了一张图对应的点双和圆方树形态。2

圆方树的点数小于 2n ,这是因为割点的数量小于 n ,所以请注意各种数组大小要开两倍。

其实,如果原图连通,则“圆方树”才是一棵树,如果原图有 k 个连通分量,则它的圆方树也会形成 k 棵树形成的森林。

如果原图中某个连通分量只有一个点,则需要具体情况具体分析,我们在后续讨论中不考虑孤立点。

构建

对于一个图,如何构造出它的圆方树呢?首先可以发现如果图不连通,可以拆分成每个连通子图考虑,所以我们只考虑连通图。

因为圆方树是基于点双连通分量的,而点双连通分量又基于割点,所以只需要用类似求割点的方法即可。

求割点的常用算法是 Tarjan 算法,如果你会了理解下面的内容就很简单了,如果你不会也没关系。

我们跳过 Tarjan 求割点,直接介绍圆方树使用的算法(其实是 Tarjan 的变体):

对图进行 DFS,并且中间用到了两个关键数组 dfnlow(类似于 Tarjan)。

dfn[u] 存储的是节点 u 的 DFS 序,即第一次访问到 u 时它是第几个被访问的节点。
low[u] 存储的是节点 u 的 DFS 树中的子树中的某个点 v 通过 最多一次返祖边或向父亲的树边 能访问到的点的 最小 DFS 序。
如果没有听说过 Tarjan 算法可能会有点难理解,让我们举个例子吧:

(可以发现这张图其实和上面图片中的图等价)
这里树边从上至下用直线画出,返祖边从下至上用曲线画出。节点的编号便是它的 DFS 序。

则有 low 数组如下:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
\mathrm{low}[i] 1 1 1 3 3 4 3 3 7

并不是很难理解吧,注意这里 9 low 7 ,与一些求割点的做法有差异,因为为了方便,我们规定了可以通过父边向上,但主要思想是相同的。

我们可以很容易地写出计算 dfnlow 的 DFS 函数(初始时 dfn 数组清零):

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void Tarjan(int u) {
  low[u] = dfn[u] = ++dfc;                // low 初始化为当前节点 dfn
  for (int v : G[u]) {                    // 遍历 u 的相邻节点
    if (!dfn[v]) {                        // 如果未访问过
      Tarjan(v);                          // 递归
      low[u] = std::min(low[u], low[v]);  // 未访问的和 low 取 min
    } else
      low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);  // 已访问的和 dfn 取 min
  }
}

接下来,我们考虑点双和 DFS 树以及这两个数组之间的关联。

可以发现,每个点双在 DFS 树上是一棵连通子树,并至少包含两个点;特别地,最顶端节点仅往下接一个点。

同时还可以发现每条树边恰好在一个点双内。

我们考虑一个点双在 DFS 树中的最顶端节点 u ,在 u 处确定这个点双,因为 u 的子树包含了整个点双的信息。

因为至少有两个点,考虑这个点双的下一个点 v ,则有 u v 之间存在一条树边。

不难发现,此时一定有 \mathrm{low}[v]=\mathrm{dfn}[u]
更准确地说,对于一条树边 u\to v u,v 在同一个点双中,且 u 是这个点双中深度最浅的节点 当且仅当 \mathrm{low}[v]=\mathrm{dfn}[u]

那么我们可以在 DFS 的过程中确定哪些地方存在点双,但是还不能准确确定一个点双所包含的点集。

这并不难处理,我们可以在 DFS 过程中维护一个栈,存储还未确定所属点双(可能有多个)的节点。

在找到点双时,点双中除了 u 以外的其他的点都集中在栈顶端,只需要不断弹栈直到弹出 v 为止即可。

当然,我们可以同时处理被弹出的节点,只要将其和新建的方点连边即可。最后还要让 u 和方点连边。

这样就很自然地完成了圆方树的构建,我们可以给方点标号为 n+1 开始的整数,这样可以有效区分圆点和方点。

这部分可能讲述得不够清晰,下面贴出一份代码,附有详尽注释以及帮助理解的输出语句和一份样例,建议读者复制代码并自行实践理解,毕竟代码才是最能帮助理解的(不要忘记开 c++11)。

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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>

const int MN = 100005;

int N, M, cnt;
std::vector<int> G[MN], T[MN * 2];

int dfn[MN], low[MN], dfc;
int stk[MN], tp;

void Tarjan(int u) {
  printf("  Enter : #%d\n", u);
  low[u] = dfn[u] = ++dfc;                // low 初始化为当前节点 dfn
  stk[++tp] = u;                          // 加入栈中
  for (int v : G[u]) {                    // 遍历 u 的相邻节点
    if (!dfn[v]) {                        // 如果未访问过
      Tarjan(v);                          // 递归
      low[u] = std::min(low[u], low[v]);  // 未访问的和 low 取 min
      if (low[v] == dfn[u]) {  // 标志着找到一个以 u 为根的点双连通分量
        ++cnt;                 // 增加方点个数
        printf("  Found a New BCC #%d.\n", cnt - N);
        // 将点双中除了 u 的点退栈,并在圆方树中连边
        for (int x = 0; x != v; --tp) {
          x = stk[tp];
          T[cnt].push_back(x);
          T[x].push_back(cnt);
          printf("    BCC #%d has vertex #%d\n", cnt - N, x);
        }
        // 注意 u 自身也要连边(但不退栈)
        T[cnt].push_back(u);
        T[u].push_back(cnt);
        printf("    BCC #%d has vertex #%d\n", cnt - N, u);
      }
    } else
      low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);  // 已访问的和 dfn 取 min
  }
  printf("  Exit : #%d : low = %d\n", u, low[u]);
  printf("  Stack:\n    ");
  for (int i = 1; i <= tp; ++i) printf("%d, ", stk[i]);
  puts("");
}

int main() {
  scanf("%d%d", &N, &M);
  cnt = N;  // 点双 / 方点标号从 N 开始
  for (int i = 1; i <= M; ++i) {
    int u, v;
    scanf("%d%d", &u, &v);
    G[u].push_back(v);  // 加双向边
    G[v].push_back(u);
  }
  // 处理非连通图
  for (int u = 1; u <= N; ++u)
    if (!dfn[u]) Tarjan(u), --tp;
  // 注意到退出 Tarjan 时栈中还有一个元素即根,将其退栈
  return 0;
}

提供一个测试用例:

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这个例子对应的图(包含了重边和孤立点的情况):

例题

我们讲一些可以使用圆方树求解的例题。

「APIO2018」铁人两项
题意简述

给定一张简单无向图,问有多少对三元组 \langle s, c, f \rangle s, c, f 互不相同)使得存在一条简单路径从 s 出发,经过 c 到达 f

题解

说到简单路径,就必须提一个关于点双很好的性质:对于一个点双中的两点,它们之间简单路径的并集,恰好完全等于这个点双。
即同一个点双中的两不同点 u,v 之间一定存在一条简单路径经过给定的在同一个点双内的另一点 w

这个性质的证明:

  • 显然如果简单路径出了点双,就不可能再回到这个点双中,否则会和点双的定义冲突。
  • 所以我们只需考虑证明一个点双连通图中任意三不同点 u,v,c ,必存在一条从 u v 的简单路径经过 c
  • 首先排除点数为 2 的情况,它满足这个性质,但是无法取出 3 个不同点。
  • 对于余下的情况,考虑建立网络流模型,源点向 c 连容量为 2 的边, u v 向汇点连容量为 1 的边。
  • 原图中的双向边 \langle x,y\rangle ,变成 x y 连一条容量为 1 的边, y 也向 x 连一条容量为 1 的边。
  • 最后,给除了源点,汇点和 c 之外的每个点赋上 1 的容量,这可以通过拆点实现。
  • 因为源点到 c 的边的容量为 2 ,那么如果这个网络最大流为 2 ,则证明一定有路径经过 c
  • 考虑最大流最小割定理,显然最小割小于等于 2 ,接下来只要证最小割大于 1
  • 这等价于证明割掉任意一条容量为 1 的边,是无法使源点和汇点不连通的。
  • 考虑割掉 u v 与汇点连接的点,根据点双的第一种定义,必然存在简单路径从 c 到另一个没割掉的点。
  • 考虑割掉一个节点拆点形成的边,这等价于删除一个点,根据点双的第二种定义,余下的图仍然连通。
  • 考虑割掉一条由原先的边建出的边,这等价于删除一条边,这比删除一个点更弱,显然存在路径。
  • 所以我们证明了最小割大于 1 ,即最大流等于 2 。证毕。

这个结论能告诉我们什么呢?它告诉了我们:考虑两圆点在圆方树上的路径,与路径上经过的方点相邻的圆点的集合,就等于原图中两点简单路径上的点集。

回到题目,考虑固定 s f ,求合法的 c 的数量,显然有合法 c 的数量等于 s,f 之间简单路径的并集的点数减 2 (去掉 s,f 本身)。

那么,对原图建出圆方树后,两点之间简单路径的点数,就和它们在圆方树上路径经过的方点(点双)和圆点的个数有关。

接下来是圆方树的一个常用技巧:路径统计时,点赋上合适的权值。
本题中,每个方点的权值为对应点双的大小,而每个圆点权值为 -1

这样赋权后则有两圆点间圆方树上路径点权和,恰好等于原图中简单路径并集大小减 2

问题转化为统计圆方树上 \sum 两圆点路径权值和。

换个角度考虑,改为统计每一个点对答案的贡献,即权值乘以经过它的路径条数,这可以通过简单的树形 DP 求出。

最后,不要忘记处理图不连通的情况。下面是对应代码:

参考代码
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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>

const int MN = 100005;

int N, M, cnt;
std::vector<int> G[MN], T[MN * 2];
long long Ans;

int dfn[MN], low[MN], dfc, num;
int stk[MN], tp;

int wgh[MN * 2];

void Tarjan(int u) {
  low[u] = dfn[u] = ++dfc;
  stk[++tp] = u;
  ++num;
  for (int v : G[u]) {
    if (!dfn[v]) {
      Tarjan(v);
      low[u] = std::min(low[u], low[v]);
      if (low[v] == dfn[u]) {
        wgh[++cnt] = 0;
        for (int x = 0; x != v; --tp) {
          x = stk[tp];
          T[cnt].push_back(x);
          T[x].push_back(cnt);
          ++wgh[cnt];
        }
        T[cnt].push_back(u);
        T[u].push_back(cnt);
        ++wgh[cnt];
      }
    } else
      low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
  }
}

int vis[MN * 2], siz[MN * 2];

void DFS(int u, int fz) {
  vis[u] = 1;
  siz[u] = (u <= N);
  for (int v : T[u])
    if (v != fz) {
      DFS(v, u);
      Ans += 2ll * wgh[u] * siz[u] * siz[v];
      siz[u] += siz[v];
    }
  Ans += 2ll * wgh[u] * siz[u] * (num - siz[u]);
}

int main() {
  scanf("%d%d", &N, &M);
  for (int u = 1; u <= N; ++u) wgh[u] = -1;
  cnt = N;
  for (int i = 1; i <= M; ++i) {
    int u, v;
    scanf("%d%d", &u, &v);
    G[u].push_back(v);
    G[v].push_back(u);
  }
  for (int u = 1; u <= N; ++u)
    if (!dfn[u]) {
      num = 0;
      Tarjan(u), --tp;
      DFS(u, 0);
    }
  printf("%lld\n", Ans);
  return 0;
}

顺带一提,刚刚的测试用例在这题的答案是 212

Codeforces #487 E. Tourists
题意简述

给定一张简单无向连通图,要求支持两种操作:

  1. 修改一个点的点权。

  2. 询问两点之间所有简单路径上点权的最小值。

题解

同样地,我们建出原图的圆方树,令方点权值为相邻圆点权值的最小值,问题转化为求路径上最小值。

路径最小值可以使用树链剖分和线段树维护,但是修改呢?

一次修改一个圆点的点权,需要修改所有和它相邻的方点,这样很容易被卡到 \mathcal{O}(n) 个修改。

这时我们利用圆方树是棵树的性质,令方点权值为自己的儿子圆点的权值最小值,这样的话修改时只需要修改父亲方点。

对于方点的维护,只需要对每个方点开一个 multiset 维护权值集合即可。

需要注意的是查询时若 LCA 是方点,则还需要查 LCA 的父亲圆点的权值。

注意:圆方树点数要开原图的两倍,否则会数组越界。

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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <vector>

const int MN = 100005;
const int MS = 524288;
const int Inf = 0x7fffffff;

int N, M, Q, cnt;
int w[MN * 2];
std::vector<int> G[MN], T[MN * 2];
std::multiset<int> S[MN * 2];

int dfn[MN * 2], low[MN], dfc;
int stk[MN], tp;

void Tarjan(int u) {
  low[u] = dfn[u] = ++dfc;
  stk[++tp] = u;
  for (int v : G[u]) {
    if (!dfn[v]) {
      Tarjan(v);
      low[u] = std::min(low[u], low[v]);
      if (low[v] == dfn[u]) {
        ++cnt;
        for (int x = 0; x != v; --tp) {
          x = stk[tp];
          T[cnt].push_back(x);
          T[x].push_back(cnt);
        }
        T[cnt].push_back(u);
        T[u].push_back(cnt);
      }
    } else
      low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
  }
}

int idf[MN * 2], faz[MN * 2], siz[MN * 2], dep[MN * 2], son[MN * 2],
    top[MN * 2];

void DFS0(int u, int fz) {
  faz[u] = fz, dep[u] = dep[fz] + 1, siz[u] = 1;
  for (int v : T[u])
    if (v != fz) {
      DFS0(v, u);
      siz[u] += siz[v];
      if (siz[son[u]] < siz[v]) son[u] = v;
    }
}

void DFS1(int u, int fz, int tp) {
  dfn[u] = ++dfc, idf[dfc] = u, top[u] = tp;
  if (son[u]) DFS1(son[u], u, tp);
  for (int v : T[u])
    if (v != fz && v != son[u]) DFS1(v, u, v);
}

#define li (i << 1)
#define ri (i << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
#define ls li, l, mid
#define rs ri, mid + 1, r

int dat[MS];

void Build(int i, int l, int r) {
  if (l == r) {
    dat[i] = w[idf[l]];
    return;
  }
  Build(ls), Build(rs);
  dat[i] = std::min(dat[li], dat[ri]);
}

void Mdf(int i, int l, int r, int p, int x) {
  if (l == r) {
    dat[i] = x;
    return;
  }
  if (p <= mid)
    Mdf(ls, p, x);
  else
    Mdf(rs, p, x);
  dat[i] = std::min(dat[li], dat[ri]);
}

int Qur(int i, int l, int r, int a, int b) {
  if (r < a || b < l) return Inf;
  if (a <= l && r <= b) return dat[i];
  return std::min(Qur(ls, a, b), Qur(rs, a, b));
}

int main() {
  scanf("%d%d%d", &N, &M, &Q);
  for (int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%d", &w[i]);
  cnt = N;
  for (int i = 1; i <= M; ++i) {
    int u, v;
    scanf("%d%d", &u, &v);
    G[u].push_back(v);
    G[v].push_back(u);
  }
  Tarjan(1), DFS0(1, 0), dfc = 0, DFS1(1, 0, 1);
  for (int i = 1; i <= N; ++i)
    if (faz[i]) S[faz[i]].insert(w[i]);
  for (int i = N + 1; i <= cnt; ++i) w[i] = *S[i].begin();
  Build(1, 1, cnt);
  for (int q = 1; q <= Q; ++q) {
    char opt[3];
    int x, y;
    scanf("%s%d%d", opt, &x, &y);
    if (*opt == 'C') {
      Mdf(1, 1, cnt, dfn[x], y);
      if (faz[x]) {
        int u = faz[x];
        S[u].erase(S[u].lower_bound(w[x]));
        S[u].insert(y);
        if (w[u] != *S[u].begin()) {
          w[u] = *S[u].begin();
          Mdf(1, 1, cnt, dfn[u], w[u]);
        }
      }
      w[x] = y;
    } else {
      int Ans = Inf;
      while (top[x] != top[y]) {
        if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) std::swap(x, y);
        Ans = std::min(Ans, Qur(1, 1, cnt, dfn[top[x]], dfn[x]));
        x = faz[top[x]];
      }
      if (dfn[x] > dfn[y]) std::swap(x, y);
      Ans = std::min(Ans, Qur(1, 1, cnt, dfn[x], dfn[y]));
      if (x > N) Ans = std::min(Ans, w[faz[x]]);
      printf("%d\n", Ans);
    }
  }
  return 0;
}
「SDOI2018」战略游戏
题意简述

给出一个简单无向连通图。有 q 次询问:

每次给出一个点集 S 2 \le |S| \le n ),问有多少个点 u 满足 u \notin S 且删掉 u 之后 S 中的点不全在一个连通分量中。

每个测试点有多组数据。

题解

先建出圆方树,则变为询问 S 在圆方树上对应的连通子图中的圆点个数减去 |S|

如何计算连通子图中的圆点个数?有一个方法:

把圆点的权值放到它和它的父亲方点的边上,问题转化为求边权和,这个问题可以参考 「SDOI2015」寻宝游戏 的一种解法。
即把 S 中的点按照 DFS 序排序,计算排序后相邻两点的距离和(还包括首尾两点之间的距离),答案就是距离和的一半,因为每条边只被经过两次。

最后,如果子图中的深度最浅的节点是圆点,答案还要加上 1 ,因为我们没有统计到它。

因为有多组数据,要注意初始化数组。

参考代码
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#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>

const int MN = 100005;

int N, M, Q, cnt;
std::vector<int> G[MN], T[MN * 2];

int dfn[MN * 2], low[MN], dfc;
int stk[MN], tp;
void Tarjan(int u) {
  low[u] = dfn[u] = ++dfc;
  stk[++tp] = u;
  for (int v : G[u]) {
    if (!dfn[v]) {
      Tarjan(v);
      low[u] = std::min(low[u], low[v]);
      if (low[v] == dfn[u]) {
        ++cnt;
        for (int x = 0; x != v; --tp) {
          x = stk[tp];
          T[cnt].push_back(x);
          T[x].push_back(cnt);
        }
        T[cnt].push_back(u);
        T[u].push_back(cnt);
      }
    } else
      low[u] = std::min(low[u], dfn[v]);
  }
}

int dep[MN * 2], faz[MN * 2][18], dis[MN * 2];
void DFS(int u, int fz) {
  dfn[u] = ++dfc;
  dep[u] = dep[faz[u][0] = fz] + 1;
  dis[u] = dis[fz] + (u <= N);
  for (int j = 0; j < 17; ++j) faz[u][j + 1] = faz[faz[u][j]][j];
  for (int v : T[u])
    if (v != fz) DFS(v, u);
}
int LCA(int x, int y) {
  if (dep[x] < dep[y]) std::swap(x, y);
  for (int j = 0, d = dep[x] - dep[y]; d; ++j, d >>= 1)
    if (d & 1) x = faz[x][j];
  if (x == y) return x;
  for (int j = 17; ~j; --j)
    if (faz[x][j] != faz[y][j]) x = faz[x][j], y = faz[y][j];
  return faz[x][0];
}

int main() {
  int Ti;
  scanf("%d", &Ti);
  while (Ti--) {
    scanf("%d%d", &N, &M);
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
      G[i].clear();
      dfn[i] = low[i] = 0;
    }
    for (int i = 1; i <= N * 2; ++i) T[i].clear();
    for (int i = 1, x, y; i <= M; ++i) {
      scanf("%d%d", &x, &y);
      G[x].push_back(y);
      G[y].push_back(x);
    }
    cnt = N;
    dfc = 0, Tarjan(1), --tp;
    dfc = 0, DFS(1, 0);
    scanf("%d", &Q);
    while (Q--) {
      static int S, A[MN];
      scanf("%d", &S);
      int Ans = -2 * S;
      for (int i = 1; i <= S; ++i) scanf("%d", &A[i]);
      std::sort(A + 1, A + S + 1, [](int i, int j) { return dfn[i] < dfn[j]; });
      for (int i = 1; i <= S; ++i) {
        int u = A[i], v = A[i % S + 1];
        Ans += dis[u] + dis[v] - 2 * dis[LCA(u, v)];
      }
      if (LCA(A[1], A[S]) <= N) Ans += 2;
      printf("%d\n", Ans / 2);
    }
  }
  return 0;
}

外部链接

immortalCO,圆方树——处理仙人掌的利器,Universal OJ。

参考资料与注释


  1. 2017 年陈俊锟同学在他的 IOI2017 中国国家集训队论文《〈神奇的子图〉命题报告及其拓展》中定义并命名了圆方树这一结构。 

  2. 陈俊锟,《平凡的圆方树和神奇的(动态)动态规划》,NOI2018 冬令营,第 4 页。 


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