枚举
本页面将简要介绍枚举算法。
简介¶
枚举(英语:Enumerate)是基于已有知识来猜测答案的一种问题求解策略。
枚举的思想是不断地猜测,从可能的集合中一一尝试,然后再判断题目的条件是否成立。
要点¶
给出解空间¶
建立简洁的数学模型。
枚举的时候要想清楚:可能的情况是什么?要枚举哪些要素?
减少枚举的空间¶
枚举的范围是什么?是所有的内容都需要枚举吗?
在用枚举法解决问题的时候,一定要想清楚这两件事,否则会带来不必要的时间开销。
选择合适的枚举顺序¶
根据题目判断。比如例题中要求的是最大的符合条件的素数,那自然是从大到小枚举比较合适。
例题¶
以下是一个使用枚举解题与优化枚举范围的例子。
例题
一个数组中的数互不相同,求其中和为
解题思路
枚举两个数的代码很容易就可以写出来。
1 2 3 | for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < n; ++j)
if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
|
来看看枚举的范围如何优化。原问题的答案由两部分构成:两个数相等的情况和不相等的情况。相等的情况只需要枚举每一个数判断一下是否合法。至于不相等的情况,由于题中没要求数对是有序的,答案就是有序的情况的两倍(考虑如果 (a, b)
是答案,那么 (b, a)
也是答案)。对于这种情况,只需统计人为要求有顺序之后的答案,最后再乘上
不妨要求第一个数要出现在靠前的位置。代码如下:
1 2 3 | for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < i; ++j)
if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
|
不难发现这里已经减少了
然而这并不是最优的结果。
两个数是否都一定要枚举出来呢?枚举其中一个数之后,题目的条件已经确定了其他的要素(另一个数),如果能找到一种方法直接判断题目要求的那个数是否存在,就可以省掉枚举后一个数的时间了。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 | // 要求 a 数组中的数的绝对值都小于 MAXN
bool met[MAXN * 2];
// 初始化 met 数组为 0;
memset(met, 0, sizeof(met));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (met[MAXN - a[i]]) ++ans;
// 为了避免负数下标
met[a[i] + MAXN] = 1;
}
|
习题¶
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